15
2019
03

设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(OP+OF2)•PF2=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是()A.4B.3C.2D.1

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问题描述:

设F1、F2分别是椭圆

x2
4
+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(
OP
+
OF2
)•
PF2
=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是(  )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

最佳答案:

∵(

OP
+
OF2
)•
PF2
=0,
∴平行四边形OPBF2的对角线互相垂直,
即平行四边形OPBF2是菱形,
∵椭圆
x2
4
+y2=1,∴a=2,b=1,c=
4−1
3

即OP=OF2=
3
,即平行四边形OPBF2的边长为
3

∴△F1PF2是直角三角形,
设PF2=x,PF1=y,
则x+y=2a=4,
平方得x2+2xy+y2=16,
∵x2+y2=(2c)2=12,
∴2xy=16-12=4,即xy=2,
则△F1PF2的面积为
1
2
xy=
1
2
×2=1,
故选:D

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